Le pendule élastique

1. Etude des oscillations du pendule élastique :

• 1.1. équation différentielle :

  

  * Lorsque le ressort est allongé, il applique une force de traction où le sens de est opposée au sens de et x>0

  * Lorsque le ressort est contracté, il applique une force de poussée où le sens de est dans le même sens de et x<0

  On note les forces appliqués au groupe étudié (représenté par le corps solide (S) Puisque la source a une colline négligée,

  ، dans le repère liée au sol, son axe OX est horizontal :

  Poids de corps S :

  Reaction de surface :

  Force de rappel du ressort

  La deuxième loi de Newton :

  

  

  En projetant cette relation sur les axes, on obtient :

  

  

  Équation différentielle du mouvement d'un pendule élastique :

  

  C'est-à-dire

  

• 1.2 L'équations temporelle :

  La résolution de l'équation différentielle conduit à l'équation position-temps écrite sous la forme:

  

  où :

  Phase d'oscillation à la date t en (rad) .

  Phase à l'origine des dates (t=0) en (rad)

  Amplitude en (m)

  période propre en (s) : la durée d'une oscillation

• 1.3. expression de la vitesse

  

• 1.4. Expression de l'accélération

  

  

• 1.5. Expression de la période propre

  par analogie (ou correspondance) :

  donc :

2. L'étude énergétique de l'ensemble {corps solide – ressort} en position horizontale :

• 2.1. Énergie cinétique :

  à chaque instant :

  .

  m : la masse d'oscillant (le corps S) . v : Sa vitesse à l'instant t .

• 2.2- Énergie potentielle du groupe (systeme) :

  C'est la somme de l'énergie potentielle de pesanteur Epp et de l'énergie potentielle élastique Epe à cet instant :

  

  : Nous choisissons plan horizontal passant par G comme l'état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur de G ( E_pp(G) =0J) , c'est a dire que E_pp = E_pe

  : L'énergie potentielle élastique d'un groupe {corps rigide-ressort} en position horizontale est l'énergie emmagasinée par ce groupe du fait de la déformation du ressort.

  

  Et en choisissant que l'énergie potentielle élastique soit nulle dans la position d'abscisse x=0 , la canstantete doit être nulle ( C =0) , et on exprime E_pe par la relation :

  

• 2.3- énergie mécanique du groupe

  C'est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle à chaque instant.

  En choisissant :

  * le plan horizontal passant par G, comme, l'état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur

  * E_pe(G)=0J à l'équilibre

  * x=0 comme abscisse de G à l'équilibre

  On obtient :

  

  

• 2.4- Diagrammes des énergies et et

  a- Frottements négligeables

  * Énergie en fonction du temps

  

  * Énergie en fonction de la vitesse ou de saisons

  

  b- Frottements faibles et non négligeables