Article : Aspects énergétiques des systèmes oscillants

Aspects énergétiques des systèmes oscillants

1. Travail d’une force extérieure exercée par un ressort

🔹 Énergie potentielle élastique

Lorsqu’un ressort est étiré ou comprimé par une force extérieure, celle-ci fournit un travail qui est emmagasiné sous forme d’énergie potentielle élastique :

E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}

Ep=21kx2

$k$ k : constante de raideur du ressort (N/m)
$x$ x : allongement ou compression du ressort par rapport à sa position d’équilibre

🔹 Énergie mécanique d’un système (masse-ressort)

Dans un système masse-ressort sans frottements :

E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = constante

Em=Ec+Ep=21mv2+21kx2=constante

L’énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ Ec=21mv2 varie au cours du mouvement.
L’énergie potentielle élastique varie de manière complémentaire.
L’énergie mécanique totale est conservée en absence de dissipation (frottements).

2. Énergie potentielle de torsion

🔹 Ressort de torsion (ex: pendule de torsion)

Lorsque l’on tord un fil ou un ressort hélicoïdal autour de son axe, il emmagasine une énergie potentielle de torsion :

E_{p} = \frac{1}{2} C θ^{2}

Ep=21Cθ2

$C$ C : constante de torsion (Nm/rad)
$θ$ θ : angle de torsion par rapport à la position d’équilibre

🔹 Énergie mécanique d’un pendule de torsion

E_{m} = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} C θ^{2} = constante

Em=21Iω2+21Cθ2=constante

$I$ I : moment d’inertie du système
$ω$ ω : vitesse angulaire
Le système oscille autour d’une position d’équilibre selon des lois sinusoïdales.

3. Énergie mécanique d’un pendule pesant

🔹 Énergie potentielle gravitationnelle

E_{p} = m g h = m g L (1 - \cos θ)

Ep=mgh=mgL(1−cosθ)

$L$ L : longueur du pendule
$θ$ θ : angle de déviation
$h = L (1 - \cos θ)$ h=L(1−cosθ) : hauteur par rapport au point le plus bas

🔹 Énergie mécanique totale

E_{m} = \frac{1}{2} I ω^{2} + m g L (1 - \cos θ)

Em=21Iω2+mgL(1−cosθ)

Pour un pendule simple, $I = m L^{2}$ I=mL2, donc :

E_{m} = \frac{1}{2} m L^{2} ω^{2} + m g L (1 - \cos θ)

Em=21mL2ω2+mgL(1−cosθ)

L’énergie mécanique est constante si aucune force dissipative n’agit sur le système.

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