Dipôle RL

1. Lَa bobine :

• 1.1. définition :

  une bobine est un dipôle constituée d'un fil conducteur, revêtu d'une fine couche isolante laquée (Vernis ou résine), de diamètre fixe enroulé régulièrement autour d'un cylindre isolant.

  * Symbole de la bobine:
  

  r : la résistance interne de la bobine.

  L : Coefficient d'auto-induction de la bobine, en unités Henry (H).

• 2.1. La tension entre les deux broches de la bobine (L ; r) :

  

  Dans le système permanent : Ainsi :.

2. Énergie stockée dans une bobine :

La bobine acquiert de l'énergie E, donc une partie de celle-ci est stockée sous forme d'énergie magnétique , E_m , et l'autre partie est dissipée sous forme d'énergie thermique E_j due à la résistance interne r.

Nous savons que

On multiplie cette relation par i(t).dt :

Avec :
*U_L.i(t).dt : la puissance fournie par le générateur au circuit RL pendant la période dt .
*R.i².dt : l'énergie dissipée par effet Joule sur la résistance interne.

*dE_m=L.i.di : l'énergie emmagasinée par la bobine

Sachant que Ainsi .

L'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine entre les instants 0 et t est :

Puisque représente l'énergie emmagasinée initiale par la bobine à t=0s : la bobine est non chargée et donc E(0)=0J et i(0)=0A soit k=0J

3. Réponse bipolaire RL à un échelon de tension montant (croissant) :

• 1.3 L'équation différentielle de l'intensité du courant:

  

  A un moment que l'on considère comme l'origine des dates, on ferme l'interrupteur K

  - Selon la loi d'additivité des tensions :

  Où : et et

  

  avec : résistance dipolaire totale RL RL.

  C'est-à-dire que :

  avec .

• 2.3. expression de l'intensité du courant :

  L'expression de l'intensité du courant dans le circuit RL est la solution de l'équation différentielle, qui est obtenue sous la forme :

  Où A, B et k sont des constantes.

  

  On substitue dans l'équation différentielle :

  donc

  Dans le régime permanent e^-K.t=0 soit

  A tout instant t : e^-K.t≠0

  soit :

  donc :

  nous concluons

  - On définit A à t=0s où i(0)=0A

  soit :

  alors

  et ainsi :

• 3.3. Expression de la tension entre les deux broches de la bobine :

  

  Selon la loi d'additivité des tensions :

  on écrit :

  avec .

  en négligeant r devant R, la relation precedente devient alors alors :

  avec .

4. Réponse dipolaire RL à un échelon de tension descendant (décroissant) :

• 1.4. L'équation différentielle de l'intensité du courant:

  

  A un moment que l'on considère comme l'origine des dates, on ouvre l'interrupteur K

  - Selon la loi d'additivité des tensions :

  avec

  soit :

  

• 4.2. expression de l'intensité du courant :

  

  L'expression de l'intensité du courant dans le circuit RL est la solution de l'équation différentielle, qui est obtenue sous la forme :

  fonction dérivée :

  On substitue dans l'équation différentielle :

  soit : و .

  à t=0s : .

  Et donc :

• 4.3. Expression de la tension entre les deux broches de la bobine :

  Selon la loi d'additivité des tensions : U_L(t)+U_R(t)=0

  donc U_L(t)=-U_R(t)=-R.i(t)=-R.

  en négligeant r devant R, la relation precedente devient alors

  alors : U_L(t)=-E

  avec .

  Remarque :

  L'avantage de la diode dans le montage est d'éviter les étincelles électriques causées par une tension excessive dans la bobine :

  - Aucun courant ne le traverse pendant que le courant s'établit dans la bobine

  - Il permet le passage du courant dans la bobine pendant l'absence de courant dans l'interrupteur K