Les oscillations libres dans un circuit RLC série

1. Décharge du condensateur dans la bobine

• 

  Une fois le condensateur complètement chargé, nous plaçons l'interrupteur de courant K en position (2) et nous obtenons un circuit RLC en série, de sorte que des échanges d'énergie se produisent entre la bobine et le condensateur à travers le conducteur ohmique :

  Le condensateur est déchargé dans la bobine, et après l'absence de courant dans le circuit, la bobine est déchargée dans le condensateur, et ainsi de suite.

  Une décharge de condensateur chargé dans la bobine du circuit RLC en série donne lieu à des vibrations libres amorties

  Oscillations : La tension se balance entre une valeur positive et une valeur négative

  Libre : l'absence de générateur dans le circuit l'oblige à osciller

  Amorti : L'amplitude diminue avec le temps en raison de la perte d'énergie électrique dans le conducteur ohmique

2. oscillations libres dans un circuit RLC

• 1.2. équation différentielle :

  

  On considère le circuit suivant :

  selon la loi d’additivité des tensions entre A et F on écrit : (1)

  avec : و و

  donc : و

  On substitue dans l'équation (1) :

  on pose و نقسم على

  Donc l'équation devient :

  Équation différentielle d'un circuit RLC série vérifiée par la tension U_c(t) entre les broches de condenseur .

  " grandeur exprime le phénomène d'extinction (Amortissement) des oscillations, ainsi le système de ces oscillations est déterminé en fonction des valeurs de R".

• 2.2. Systèmes oscillations libres :

  selon R est la résistance totale du circuit on peut obtenir

  R=0	R Très petite	R critique	R très grande
  régime périodique (idéal)	régime pseudo-périodique	régime critique	régime apériodique
  R est nul, on obtient des oscillations dont l'amplitude reste constante dans le temps, donc ce circuit est appelé le circuit LC idéal car il est impossible de le réaliser expérimentalement, car les bobines ont une résistance interne	R est petit, on obtient des vibrations dont l'amplitude diminue progressivement avec le temps	Dans les oscillations libres il existe une certaine valeur de résistance R, on la note Rc ، La résistance critique, qui est la résistance qui sépare le régime pseudo-périodique du régime non périodique, et le régime dans ce cas est appelé critique. Dans ce cas, la tension Uc(t) revient à zéro rapidement et sans oscillation. Rc est lié L و C . Rc =2.√(L/C)	R est trop grand ; Les oscillations disparaissent du fait de l'existence d'une amortissement importante

3. oscillations non amortis dans un circuit LC idéal

• 1.3. L'équation différentielle vérifiée par la par tension U_c(t) :

  

  selon la loi d’additivité des tensions, on écrit : .

  avec et C'est-à-dire : .

  On substitue et on trouve :

  C'est-à-dire : L'équation différentielle vérifiée par la par tension U_c(t) pendant les oscillations électriques libres non amorties du circuit LC

• 1.3. Résolution de l'équation différentielle :

  C'est une équation différentielle linéaire de seconde ordre, sa solution est sinusoïdale sous la forme :
  où :
  * U_m : amplitude des oscillations en (V).
  * : phase a l'instant t en (s).
  * φ : La phase à l'origine des dates (t=0s) en (rad).
  * T : période propre des oscillations en (s).

  Remarque :

  on pose .
  on appelle pulsation (battement) propre des oscillations en (rad/s) .
  Et on écrit : .

  Remarque :

  Grâce à l'équation de dimension, nous pouvons vérifier que l'unité de T est la seconde.

  Remarque :

  Les valeurs U_m et φ sont spécifiées par les conditions initiales

  expression de charge avec

  expression courante

  puisque alors
  

4. Transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine :

• 1.4. L'énergie dans le circuit LC idéal :

  A chaque instant l'énergie totale stockée dans le circuit LC est la somme de l'énergie électrique dans le condensateur et de l'énergie magnétique dans la bobine :

  

  

  

  Il s'avère que l'énergie dans ce circuit est constante

  +

  L'énergie totale d'un circuit LC idéal est constante dans le temps et est égale à l'énergie initiale stockée dans le condensateur.

  Lors d'oscillations non amorties, l'énergie électrique dans le condensateur est transformée en énergie magnétique dans la bobine, et vice versa.

• 2.4. L'énergie dans un circuit RLC en série :

  Lors d'une étude expérimentale d'un circuit RLC série où la résistance est R≠0Ω, on observe, avec un appareil approprié, les courbes de variation de l'énergie E_m e E_e et E_T En fonction de temps

  

  L'énergie stockée dans le circuit est à chaque instant la somme de l'énergie électrique dans le condensateur et de l'énergie magnétique dans la bobine

  

  Il s'avère que l'énergie dans ce circuit n'est pas constante

  L'énergie totale d'un circuit RLC en série diminue avec le temps car l'énergie est dissipée à travers la résistance R par effet Joule.

5. Entretien des oscillations

• 1.5. Générateur d'entretien :

  

  

  

  

  A partir des équations (1) et (2) on trouve : ، C'est-à-dire : .

  Ainsi : la tension entre les deux bornes du générateur est directement proportionnelle à l'intensité du courant.

  

• 2.5. étude de l'oscillateur :

  

  a chaque instant on peut être écrit :

  C'est-à-dire :

  avec :

  Nous obtenons donc l'équation différentielle de l'oscillateur:

  Pour que les vibrations soient maintenues il faut qu'il soit C'est-à-dire .

  D'où l'équation différentielle caractéristique de l'oscillateur LC à résistance négligeable :

  Pour entretenir les oscillations, le circuit doit être alimenté par une énergie électrique qui compense l'énergie dissipée par effet Joules dans la résistance R. On utilise un dipôle qui agit comme une résistance négative.

• 3.5. Visualisation la tension entre les bornes du condensateur du circuit (L, C) où se trouve le générateur G (-Ri) :

  Expérience : Dans le montage expérimentale précédent, la tension entre les deux bornes du condensateur a été Visualisée sur l'écran de l'oscilloscope, et nous avons remarqué :